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从排列到组合-分治

穷举毕竟太过暴力,我们来通过分治思想来重新考虑一下这个问题:

分治思想

分治的思想总的来说就是”大事化小,小事化了”,它将复杂的问题往简单划分,直到划分为可直接解决的问题,再从这个直接可以解决的问题向上聚合,最后解决问题。

从 M 个元素中取出 N 个元素整个问题很复杂,用分治思想就可以理解为:

  • 首先,如果我们已经从 M 中元素取出了一个元素,那么集合中还剩下 M-1 个,需要取的元素就剩下 N-1 个。

  • 还不好解决的话,我们假设又从 M-1 中取出了一个元素,集合中还剩下 M-2 个,需要取的元素只剩下 N-2 个。

  • 直到我们可能取了有 M-N+1 次,需要取的元素只剩下一个了,再从剩余集合中取,就是一个简单问题了,很简单,取法有 M-N+1 种。

  • 如果我们解决了这个问题,已经取完最后一次了产生了 M-N+1 种临时集合,再考虑从 M-N+2 个元素中取一个元素呢,又有 M-N+2 种可能。

  • 将这些可能聚合到一块,直到取到了 N 个元素,这个问题也就解决了。

还是从 5 个元素中取 3 个元素的示例:

  • 从 5 个元素中取 3 个元素是一个复杂问题,为了简化它,我们认为已经取出了一个元素,还要再从剩余的 4 个元素中取出 2 个,求解公式为:。

  • 从 4 个元素中取出 2 个依旧不易解决,那我们再假设又取出了一个元素,接下来的问题是如何从 3 个元素中取一个,公式为 。

  • 从 3 个元素中取 1 个已经是个简单问题了,有三种可能,再向上追溯,与四取一、五取一的可能性做乘,从而解决这个问题。


作者:admin 分类:未分类 浏览:172 评论:0
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